可测函数
在实变函数中，可测函数是研究的重要对象，就像数学分析主要研究连续函数那样。
测度论上的可测函数参见/测度论。
目录
1 定义
2 性质
2.1 运算性质
2.2 可测集的性质
3 简单函数
4 复合函数的可测性
5 参考资料
定义[]
设在有限维 Euclid 空间中，广义实值函数（意思是函数值可以取到广义实数
±
∞
{\displaystyle \pm\infty}
）
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
定义在一个 可测集
E
⊆
R
n
{\displaystyle E \subseteq \R^n}
上，如果对任意的有限实数
t
∈
R
{\displaystyle t \in \mathbb{R} }
，集合
{
x
∈
E
:
f
(
x
)
>
t
}
{\displaystyle \{ x \in E: f(x) > t \}}
是可测集，那么我们就称
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
是
E
{\displaystyle E}
上的可测函数。
上述定义的条件可以用以下任意一条替换：
{
x
∈
E
:
f
(
x
)
⩽
t
}
=
E
−
{
x
∈
E
:
f
(
x
)
>
t
}
{\displaystyle \{ x \in E: f(x) \leqslant t \} = E - \{ x \in E: f(x) > t \}}
是可测集；
{
x
∈
E
:
f
(
x
)
⩾
t
}
=
⋂
k
=
1
∞
{
x
∈
E
:
f
(
x
)
>
t
−
1
k
}
{\displaystyle \{ x \in E: f(x) \geqslant t \} = \bigcap_{k=1}^\infty \left\{ x \in E: f(x) > t - \dfrac{1}{k} \right\}}
是可测集；
{
x
∈
E
:
f
(
x
)
<
t
}
=
E
−
{
x
∈
E
:
f
(
x
)
⩾
t
}
{\displaystyle \{ x \in E: f(x) < t \} = E - \{ x \in E: f(x) \geqslant t \}}
是可测集。
在不引起混淆的情况下
{
x
∈
E
:
f
(
x
)
>
t
}
{\displaystyle \{ x \in E: f(x) > t \}}
可简写为
{
x
:
f
(
x
)
>
t
}
{\displaystyle \{x: f(x) > t\}}
，其余相似的简写也被采用。
性质[]
运算性质[]
可测函数有如下运算性质：
E
{\displaystyle E}
上的可测函数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
的实数倍
c
f
(
x
)
{\displaystyle cf(x)}
依然是
E
{\displaystyle E}
上的可测函数；
E
{\displaystyle E}
上的可测函数
f
(
x
)
,
g
(
x
)
{\displaystyle f(x), g(x)}
的和与差
f
(
x
)
±
g
(
x
)
{\displaystyle f(x) \pm g(x)}
依然是
E
{\displaystyle E}
上的可测函数；
E
{\displaystyle E}
上的可测函数
f
(
x
)
,
g
(
x
)
{\displaystyle f(x), g(x)}
的实数倍
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle f(x) g(x)}
依然是
E
{\displaystyle E}
上的可测函数。
可测函数的极限运算性质：设
{
f
k
(
x
)
}
k
=
1
∞
{\displaystyle \{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty}
是
E
{\displaystyle E}
上的可测函数序列，那么
sup
k
⩾
1
f
k
(
x
)
,
inf
k
⩾
1
f
k
(
x
)
{\displaystyle \sup_{k \geqslant 1} f_k(x), \inf_{k \geqslant 1} f_k (x)}
是
E
{\displaystyle E}
上的可测函数；
lim sup
k
→
∞
f
k
(
x
)
,
lim inf
k
→
∞
f
k
(
x
)
{\displaystyle \limsup_{k \to \infty} f_k(x), \liminf_{k \to \infty} f_k (x)}
是
E
{\displaystyle E}
上的可测函数；
当
{
f
k
(
x
)
}
k
=
1
∞
{\displaystyle \{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty}
在
E
{\displaystyle E}
上收敛于
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
时，
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
是
E
{\displaystyle E}
上的可测函数。
可测集的性质[]
设
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
是
E
{\displaystyle E}
上的可测函数，那么以下点集均是可测集：
{
x
:
f
(
x
)
=
t
}
=
{
x
:
f
(
x
)
⩽
t
}
∩
{
x
:
f
(
x
)
⩾
t
}
;
{\displaystyle \{ x: f(x) = t \} = \{ x: f(x) \leqslant t \} \cap \{ x:f(x) \geqslant t \};}
{
x
:
f
(
x
)
<
+
∞
}
=
⋃
k
=
1
∞
{
x
:
f
(
x
)
<
k
}
;
{\displaystyle \{ x: f(x) < +\infty \} = \bigcup_{k=1}^\infty \{ x: f(x) < k \};}
{
x
:
f
(
x
)
=
+
∞
}
=
E
−
{
x
:
f
(
x
)
<
+
∞
}
;
{\displaystyle \{ x: f(x) = +\infty \} = E - \{ x: f(x) < +\infty \};}
{
x
:
f
(
x
)
>
−
∞
}
=
⋃
k
=
1
∞
{
x
:
f
(
x
)
>
−
k
}
;
{\displaystyle \{ x: f(x) > -\infty \} = \bigcup_{k=1}^\infty \{ x: f(x) > -k \};}
{
x
:
f
(
x
)
=
−
∞
}
=
E
−
{
x
:
f
(
x
)
>
−
∞
}
.
{\displaystyle \{ x: f(x) = -\infty \} = E - \{ x: f(x) > -\infty \}.}
另外，有如下诸多关于可测函数关于可测集的性质：
E
k
,
k
=
1
,
2
,
⋯
,
n
{\displaystyle E_k, k = 1,2,\cdots,n}
上的可测函数在
⋃
k
=
1
∞
{\displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty}
依然可测，特别的对有限个可测的并也成立；
零测集上的实值函数是可测函数，因此若两个函数在一个可测集上除了一零测集之外处处相等，那么一个可测可推出另一个可测；
实数域的可测子集上的单调函数是可测函数；
可测集
E
{\displaystyle E}
上的连续函数是可测函数；
在
E
{\displaystyle E}
上可测的函数，在
E
{\displaystyle E}
的可测子集上依然可测；
可测函数列的收敛点的原像集是可测集；
E
{\displaystyle E}
上的实值函数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
是可测函数当且仅当
f
(
E
)
{\displaystyle f(E)}
上开集的原象是可测集。
简单函数[]
若定义在可测集
E
{\displaystyle E}
上的函数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
的值域
f
(
E
)
{\displaystyle f(E)}
是有限集，则称
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
是
E
{\displaystyle E}
上的简单函数，例如 Dirichlet 函数是简单函数。
简单函数一定是可测函数，因此通常称其为简单可测函数。在
E
{\displaystyle E}
上分段取常值的简单函数称为阶梯函数。
对于简单函数，它可以逼近可测函数，即有如下的简单函数逼近定理：
设
f
{\displaystyle f}
是
E
{\displaystyle E}
上的非负可测函数，则存在一列渐升非负简单函数列
{
f
k
(
x
)
}
k
=
1
∞
:
f
1
(
x
)
⩽
f
2
(
x
)
⩽
⋯
⩽
f
k
(
x
)
⩽
⋯
{\displaystyle \{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty: f_1(x) \leqslant f_2(x) \leqslant \cdots \leqslant f_k(x) \leqslant \cdots}
使得
lim
k
→
∞
f
k
(
x
)
=
f
(
x
)
,
x
∈
E
.
{\displaystyle \lim_{k \to \infty} f_k (x) = f(x), \quad x \in E.}
设
f
{\displaystyle f}
是
E
{\displaystyle E}
上的可测函数，则存在一列简单函数列
{
f
k
(
x
)
}
k
=
1
∞
:
|
f
k
(
x
)
|
⩽
f
(
x
)
{\displaystyle \{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty: |f_k(x)| \leqslant f(x)}
使得
lim
k
→
∞
f
k
(
x
)
=
f
(
x
)
,
x
∈
E
.
{\displaystyle \lim_{k \to \infty} f_k (x) = f(x), \quad x \in E.}
当
f
k
(
x
)
{\displaystyle f_k(x)}
有界时上述收敛是一致收敛。
复合函数的可测性[]
两个可测函数的复合不一定可测，可测函数的反函数也不一定是可测的。
设
g
{\displaystyle g}
是
E
⊆
R
{\displaystyle E \subseteq \R}
上的可测函数，
f
{\displaystyle f}
是
g
(
E
)
{\displaystyle g(E)}
上的连续函数，那么
f
∘
g
{\displaystyle f \circ g}
是
E
{\displaystyle E}
上的可测函数；
设
g
{\displaystyle g}
是
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
上的有界可测函数，函数
f
{\displaystyle f}
在
f
(
E
)
{\displaystyle f(E)}
上单调，则
f
∘
g
{\displaystyle f \circ g}
是
E
{\displaystyle E}
上的可测函数；
设
T
{\displaystyle T}
是
R
n
→
R
n
{\displaystyle \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n}
的可逆线性变换，
f
{\displaystyle f}
是
R
n
{\displaystyle \R^n}
上的可测函数，那么
f
∘
T
{\displaystyle f \circ T}
是
R
n
{\displaystyle \R^n}
上的可测函数。
参考资料周民强, 《实变函数论（第三版）》, 北京大学出版社, 北京, 2016-10, ISBN 978-7-3012-7647-1.
实变函数论（学科代码：1104110，GB/T 13745—2009）
预备知识
集合序列 ▪ 集合的势以及基数 ▪ σ-代数 ▪ Borel 集 ▪ 稠密集 ▪ Baire 定理 ▪ Cantor 三分集 ▪ 连续延拓定理
Lebesgue 测度
Jordan 测度 ▪ Lebesgue 外测度 ▪ Lebesgue 测度 ▪ 正测度集 ▪ 不可测集
可测函数
可测函数 ▪ 可测函数列 ▪ Lusin 定理 ▪ 几乎处处
Lebesgue 积分
非负可测函数的积分 ▪ Lebesgue 积分 ▪ Levi 积分定理 ▪ Fatou 引理 ▪ 控制收敛定理 ▪ Fubini 定理 ▪ Lebesgue 积分的性质 ▪ 卷积 ▪ 分布函数 ▪ Lp 空间
Lebesgue 微分
Vitali 覆盖定理 ▪ Dini 导数 ▪ 有界变差函数 ▪ Lebesgue 微分定理 ▪ 绝对连续函数
所在位置：数学（110）→ 函数论（11041）→ 实变函数论（1104110）