收敛半径计算

计算使级数收敛的 xxx 的范围通常涉及找出该级数的收敛半径和收敛区间。对于幂级数 ∑n=0∞anxn\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n∑n=0∞​an​xn，我们可以使用以下方法来确定其收敛性：

1. 比例判别法（Ratio Test）对于幂级数 ∑n=0∞anxn\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n∑n=0∞​an​xn，使用比例判别法求收敛半径 RRR：

lim⁡n→∞∣an+1an∣=L\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L n→∞lim​​an​an+1​​​=L

则：

R=1LR = \frac{1}{L} R=L1​

若 L=0L = 0L=0，则 R=∞R = \inftyR=∞，级数在整个复平面上收敛；若 L=∞L = \inftyL=∞，则 R=0R = 0R=0，级数仅在 x=0x = 0x=0 处收敛。

2. 根值判别法（Root Test）根值判别法也可以用于找收敛半径：

lim⁡n→∞∣an∣n=L\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = L n→∞lim​n∣an​∣​=L

则：

R=1LR = \frac{1}{L} R=L1​

3. 收敛半径确定后收敛半径 RRR 确定后，幂级数在区间 ∣x∣R|x| > R∣x∣>R 外发散。在 ∣x∣=R|x| = R∣x∣=R 处，需要进一步分析收敛性，这可能包括使用交错级数判别法、比较判别法等。

示例假设我们有幂级数：

∑n=0∞xnn!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} n=0∑∞​n!xn​

使用比例判别法：

lim⁡n→∞∣an+1an∣=lim⁡n→∞∣1(n+1)!1n!∣=lim⁡n→∞1n+1=0\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\frac{1}{n!}} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0 n→∞lim​​an​an+1​​​=n→∞lim​​n!1​(n+1)!1​​​=n→∞lim​n+11​=0

因此，收敛半径 R=∞R = \inftyR=∞，级数在整个复平面上收敛。

例子：找到 ∑n=1∞nxn2n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n x^n}{2^n}∑n=1∞​2nnxn​ 的收敛范围使用比例判别法：

an=n2na_n = \frac{n}{2^n} an​=2nn​

lim⁡n→∞∣an+1xn+1anxn∣=lim⁡n→∞∣(n+1)xn+1/2n+1nxn/2n∣=lim⁡n→∞∣(n+1)x2n∣=∣x∣2\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1} x^{n+1}}{a_n x^n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+1) x^{n+1} / 2^{n+1}}{n x^n / 2^n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+1) x}{2n} \right| = \frac{|x|}{2} n→∞lim​​an​xnan+1​xn+1​​=n→∞lim​​nxn/2n(n+1)xn+1/2n+1​​=n→∞lim​​2n(n+1)x​​=2∣x∣​

为使级数收敛，要求：

∣x∣2<1 ⟹ ∣x∣<2\frac{|x|}{2} < 1 \implies |x| < 2 2∣x∣​<1⟹∣x∣<2

因此，收敛半径 R=2R = 2R=2，级数在 ∣x∣<2|x| < 2∣x∣<2 内绝对收敛。

在边界点的分析在 ∣x∣=R|x| = R∣x∣=R 处，进一步分析级数的收敛性：

对于 x=2x = 2x=2，级数变为 ∑n=1∞n⋅2n2n=∑n=1∞n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n \cdot 2^n}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} n∑n=1∞​2nn⋅2n​=∑n=1∞​n，显然发散。对于 x=−2x = -2x=−2，级数变为 ∑n=1∞n⋅(−2)n2n=∑n=1∞n(−1)n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n \cdot (-2)^n}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} n (-1)^n∑n=1∞​2nn⋅(−2)n​=∑n=1∞​n(−1)n，这也是发散的。因此，最终的收敛区间是 −2

总结来说，通过比例判别法或根值判别法计算收敛半径，然后结合其他判别方法分析边界点的情况，可以确定级数收敛的 xxx 的范围。